In 1936 hat Herr André Weil in einer C.R.-Note(1) angezeigt, dass zwischen gewissen Massen und Topologien in einer Gruppe eine enge Beziehung besteht.
Eine Gruppe G mit Elementen x, y, …… nennt man bakanntlich eine topologische Gruppe, wenn sie zugleich ein topologischer Raum ist, und y^-1x eine stetige Funktion von x, y ist. Die hier in Frage kommende Topologie von G ist also nieht eine beliebige: sie muss mit der Gruppenoperation von G in einer gewissen Relation stehen. Als Topologie in einer Gruppe wollen wir im foigenden nur solehe Topologie in Betracht ziehen.
Dementsprechend ist es naturgemäss, dem Mass in einer Gruppe eine gewisse Bedingung aufzuerlegen. Welehe Bedingung soll es sein? Eine Abbildung von einem mit einem Mass behafteten Raum in einen ebensolehen Raum heisst nach J. von Neumann messbar, wenn das Urbild jeder messbaren Menge wieder messbar ist.(2) Wenn also in einer Gruppe G ein Mass erklärt ist, könnte man die Messbarkeit der Abbildung (x, y)→y^-1x von G×G auf G als das annehmen, was der Stetigkeit von y^-1x entsprieht. Das ist in der Tat was Herr A. Weil tut, indem er die Masse betrachtet, die die Eigenschaft besitzen, dass mit f(x) auch f(y^-1x)eine messbare Funktiou sein soll.(3) Ein linksinvariantes Mass mit dieser Eigensehaft wollen wir ein Weilsehes Mass nennen.
Herr A. Weil behauptet nun, dass sich zwisehen solehen Massen und den Topologien in einer Gruppe G eine eineindeutige Zuordnung in der Weise herstellen lässt, dass das betreffende Mass mit dem Haarschen Mass derjemgen Gruppe übereinstinmt, die aus G durch Komplettierung in bezug auf die entsprechende Topologie entsteht, und immer im Kleinen bikompakt ausfällt.-Der Beweis dieses wichtigen Resultates scheint jedoch noch nieht publiziert zu sein. Im folgenden soll der Beweis mitgeteilt werden. den ich nach kurzen Andentungen von Herrn A. Weil durchgeführt babe.
In I wird die Vorbereitung getroffen, die für die genane Formulierung des Weilschen Ergebnisses notwendig ist. Am wesentlichesten ist dabei, dass wir einerseits den Begriff der Topologie in einer Gruppe etwas allgemeiner fassen als üblich (nämlich von dem Trennungsaxiom absehen), und andererseits ihr eine gewisse Abzäbibarkeitsbedingung (Bedingung (B) I, Nr. 6) auferlegen. Solche “allgemein-topologische” Gruppe, die im Kleinen total besehränkt sind, spielen im folgenden eine Hauptrolle. Als im Kleinen bikompakte Gruppen betrachten wir aber nur die topologischen Gruppen im gewöhnlichen Sinne (mit getrennter Topologie). II bringt also eine leiehte Verallgemeinerung der bekannten Theorie des Haarschen Masses auf den im Kleinen bikompakten Fall. In III wird das Mass, das durch ein Haarsches Mass induziert wird (Für die Definition siehe III, Nr. 1) behandelt. Es wird insbesondere gezeigt, dass solehes Mass ein Weilsehes Mass ist (Satz 12).